Площадь треугольника по трём сторонам и радиусу описанной окружности

Что такое площадь треугольника через стороны и радиус описанной окружности

Если в задаче даны три стороны треугольника и радиус описанной окружности, площадь можно найти по формуле, которая связывает эти четыре величины. Формула вытекает из теоремы синусов и часто встречается в задачах по геометрии.

Для кого этот калькулятор

Формулу проходят в курсе геометрии 9 класса при изучении окружности, описанной около треугольника. Она пригодится на контрольных работах, при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ по математике. В задачах радиус описанной окружности часто бывает уже известен — именно тогда эта формула удобнее формулы Герона.

Формула

Где a, b, c — стороны треугольника, R — радиус описанной окружности.

Откуда берётся эта формула

По теореме синусов: a ÷ sin α = 2R, откуда sin α = a ÷ (2R).

Площадь треугольника можно выразить как S = ½ × b × c × sin α.

Подставляя sin α = a ÷ (2R), получаем: S = ½ × b × c × a ÷ (2R) = (a × b × c) ÷ (4R).

Алгоритм решения

1. Запишите длины трёх сторон a, b, c и радиус описанной окружности R
2. Найдите произведение сторон: a × b × c
3. Найдите знаменатель: 4 × R
4. Разделите произведение на знаменатель — это площадь треугольника

Пример решения

Дан треугольник со сторонами a = 6, b = 8, c = 10 и радиусом описанной окружности R = 5.

Произведение сторон: 6 × 8 × 10 = 480.

Знаменатель: 4 × 5 = 20.

Площадь: S = 480 ÷ 20 = 24.

Проверка: треугольник 6-8-10 — прямоугольный (6² + 8² = 100 = 10²). Площадь = ½ × 6 × 8 = 24. ✓

Частые ошибки

Не забывайте умножать R на 4 в знаменателе — ученики часто делят только на R или на 2R.

Радиус описанной окружности не может быть любым — он однозначно определяется тремя сторонами. Если в задаче R не соответствует сторонам, задача содержит ошибку.