Площадь треугольника по сторонам и радиусу вписанной окружности

Что такое вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, которая находится внутри треугольника и касается всех трёх его сторон. Центр вписанной окружности называется инцентром — это точка пересечения биссектрис треугольника. Радиус вписанной окружности обозначается буквой r.

Формула площади через радиус вписанной окружности

Площадь любого треугольника можно найти по формуле:

где:

• S — площадь треугольника
• r — радиус вписанной окружности
• p — полупериметр треугольника: p = (a + b + c) ÷ 2

Почему эта формула работает

Если соединить центр вписанной окружности с каждой вершиной треугольника, получится три маленьких треугольника. У каждого из них высота равна радиусу r (перпендикуляр от центра к стороне), а основание — сторона большого треугольника. Сумма площадей этих трёх треугольников равна площади исходного треугольника:

S = ½ × a × r + ½ × b × r + ½ × c × r = ½ × r × (a + b + c) = r × p

Для кого этот калькулятор

Формула S = r × p изучается в курсе геометрии 8 класса. Она встречается в задачах на вписанные окружности, а также в заданиях ОГЭ и ЕГЭ по математике.

Как найти площадь — пошаговый алгоритм

1. Запишите длины всех трёх сторон треугольника: a, b, c
2. Вычислите полупериметр: p = (a + b + c) ÷ 2
3. Умножьте радиус вписанной окружности на полупериметр: S = r × p

Пример решения задачи

Условие: Найти площадь треугольника со сторонами 13 см, 14 см, 15 см, если радиус вписанной окружности равен 4 см.

Решение:

• Полупериметр: p = (13 + 14 + 15) ÷ 2 = 42 ÷ 2 = 21 см
• Площадь: S = 4 × 21 = 84 см²

Ответ: 84 см²

Частые ошибки

• Путают периметр и полупериметр. В формуле используется именно полупериметр (половина периметра).
• Путают вписанную и описанную окружность. Вписанная — внутри треугольника, касается сторон. Описанная — снаружи, проходит через вершины.
• Берут произвольное r. Радиус вписанной окружности — строго определённая величина для каждого треугольника.