Как найти площадь треугольника по координатам вершин
Если известны координаты всех трёх вершин треугольника на плоскости, площадь можно вычислить без измерения сторон и высот — только по числам координат.
Формула площади треугольника по координатам
Для треугольника с вершинами A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃):
S = ½ · |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|
Модуль нужен, чтобы площадь всегда была положительной — знак выражения зависит от порядка обхода вершин.
Когда это проходят
Эта тема изучается в 9 классе (геометрия, метод координат). Формула часто встречается на ОГЭ и ЕГЭ в задачах на координатную плоскость.
Алгоритм вычисления
- Запиши координаты всех трёх вершин: A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)
- Подставь координаты в формулу
- Вычисли выражение в скобках
- Возьми модуль (если отрицательное — поменяй знак)
- Раздели на 2 — это и есть площадь
Пример решения
Найти площадь треугольника с вершинами A(1, 2), B(4, 6), C(7, 2).
S = ½ · |1·(6 − 2) + 4·(2 − 2) + 7·(2 − 6)|
S = ½ · |1·4 + 4·0 + 7·(−4)| = ½ · |4 + 0 − 28| = ½ · |−24| = ½ · 24 = 12
Ответ: S = 12 кв. ед.
Частые ошибки
- Забывают взять модуль — получают отрицательную площадь
- Путают порядок координат x и y
- Ошибаются в знаках при вычитании
Проверяй результат по формуле Герона — вычисли длины сторон и найди площадь другим способом. Ответы должны совпасть!